自分自身を要素として含まない集合の集合（ラッセルのパラドックス）

今日の勉強内容に「自分自身を要素として含まない集合の集合」があった。頭の中でこれについて考えていると、よく脳内迷子になるのでメモを残しておくことにした。

「自分自身を要素として含まない集合の集合」を記号で書けば次の通りになる。

X＝｛Y｜Y∉Y｝

このような集合の存在を仮定すれば、次のようにして矛盾が生じる。

Xが要素としてX自身を含んでいる（X∈X）と仮定すれば、Xの要素が満たす条件によりXは自分自身を要素として含まない（X∉X）ことになり矛盾する。

逆にX自身が要素としてXを含んでいない（X∉X）と仮定すれば、Xは、Xの要素となる条件を満たすことになる。（X∈X）したがってこの場合も矛盾する。

以上によりいずれの場合に対しても矛盾が生じる。