キタタクoctの活動記録

きたる時に自信に繋ぐための記録

定数前層は層であるとは限らない (constant presheaf is not a sheaf)

空集合の被覆について

{ \displaystyle \mathcal{U}=\bigcup_{i\in I} \mathcal{U_i} }

を命題で表記すると次のようになる。

{ \displaystyle u\in \mathcal{U} \Longleftrightarrow \exists i\in I , u\in \mathcal{U_i} }

このように表記すれば空集合の被覆を考える際に便利である。 上の命題において

{ \displaystyle \mathcal{U}=\emptyset , I=\emptyset }

の場合を考えると次のようになる。

{ \displaystyle u\in \emptyset \Longleftrightarrow \exists i\in \emptyset , u\in \mathcal{U_i} }

この命題は真である。なぜなら、 { \displaystyle u\in \emptyset } を満たすような{ \displaystyle u }{ \displaystyle i \in \emptyset } を満たすような{ \displaystyle i }は存在しないので、前提条件が偽であるからである。

この命題を記号で表記すれば次のようになる。

{ \displaystyle \emptyset=\bigcup_{i\in \emptyset} \mathcal{U_i} }

identity axiomについて

前層が層になるためにはidentity axiomとgluability axiomを満たさなければならない。 identity axiomは次である。

Xを位相空間{ \displaystyle \mathcal{F} }をX上の前層とする。Xの開集合{ \displaystyle \mathcal{U} }開被覆{ \displaystyle \mathcal{U_i}\, (i\in I) }とする。

{ \displaystyle f,g\in \mathcal{F(U)} }が任意の{ \displaystyle i\in I }に対して { \displaystyle \mathcal{U_i} }への制限が等しいとき{ \displaystyle f=g }となる。

この公理は命題として記述すれば次のようになる。

{ \displaystyle ( f,g\in \mathcal{F(U)} i\in I \Longrightarrow res f= res\, g\, (to \mathcal{U_i} ))\Longrightarrow f = g }

ここで開集合が{ \displaystyle \mathcal{U}=\emptyset }であるならば、前節の結果により開被覆のindex setとして{ \displaystyle I=\emptyset }とすることができ、このとき上の命題において最初の(  )の中の命題が真である。なぜなら{ \displaystyle i \in \emptyset } を満たすような{ \displaystyle i }は存在しないので、前提条件が偽であるからである。 したがって層の空集合に対応する集合はすべての元が等しくなる。 すなわち1元集合である。

定数前層が層でない例

簡単のために「集合の」定数前層について記述するが、適当な変更により他の圏上でも記述することができる。

まず、定数前層を定義する。 Xを位相空間{ \displaystyle S } は空でない集合とする。Xの開集合{ \displaystyle \mathcal{U} }に対して、

{ \displaystyle S_{pre} (U)=S }

によって{ \displaystyle S_{pre} }を定義する。

Xの開集合{ \displaystyle \mathcal{U,V} }に包含写像 { \displaystyle \mathcal{U}\hookrightarrow \mathcal{V} } が存在したとき、制限写像{ \displaystyle res_{V,U} }を恒等写像{ \displaystyle id_S }で定義する。

この{ \displaystyle S_{pre} }は明らかに前層である。この前層を集合{ \displaystyle S }に関する定数前層(constant presheaf)という。

この定数前層はそうになるとは限らない。その例をあげる。 集合{ \displaystyle S }が2つ以上元を持っているとする。集合{ \displaystyle S }に関する定数前層{ \displaystyle S_{pre} }が層であると仮定する。

{ \displaystyle s,t\in S , s\neq t }

を与える。さらに位相空間Xの開集合{ \displaystyle \mathcal{U,V} }であって

{ \displaystyle \mathcal{U} \cap \mathcal{V} = \emptyset }

を満たすものを与える。{ \displaystyle s,t\in S }{ \displaystyle \mathcal{U} \cap \mathcal{V} = \emptyset }へ制限すれば前節の議論の結果により{ \displaystyle  \mathcal{F}(  \mathcal{U} \cap \mathcal{V} )=S }上では{ \displaystyle s=t }となる。これはs,tの取り方に矛盾する。 したがって{ \displaystyle S_{pre} }は層ではない。